Question

（2003•河南）已知關于x的方程x²+（4k+1）x+2k-1=0．
（1）求證：此方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若x₁，x₂是方程的兩個實數(shù)根，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）需證得根的判別式恒為正值．
（2）（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=2k-3，依據(jù)根與系數(shù)的關系，列出關于k的方程求解則可．
解答：（1）證明：△=b²-4ac
=（4k+1）²-4（2k-1）
=16k²+8k+1-8k+4=16k²+5，
∵k²≥0，∴16k²≥0，∴16k²+5＞0，
∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）解：根據(jù)題意，得x₁+x₂=-（4k+1），x₁x₂=2k-1，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
=（2k-1）+2（4k+1）+4=2k-1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k-3，
∴k=-1．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．