Question

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問(wèn)題．

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

┅┅
（1）計(jì)算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

5

6

．
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．（用含有n的式子表示）
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

的值為

17

35

，n=

17

．
（4）求

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+

1

4×6

+…+

1

n×(n+2)

=

3n2+9n+4

2n2+6n+4

．（用含有n的式子表示）

Answer 1

分析：根據(jù)所給的等式可得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，據(jù)此可求出（1）、（2）的值；
（3）依據(jù)

1

n(n+2)

=

1

2

×（

1

n

-

1

n+2

）先展開，再合并，可化簡(jiǎn)3式，求出的結(jié)果等于

17

35

，進(jìn)而可求n；
（4）依據(jù)

1

n(n+2)

=

1

2

×（

1

n

-

1

n+2

）先展開4式，再加減，最后通分相加即可．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）原式=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

，
根據(jù)題意可得：

n

2n+1

=

17

35

，
解得n=17；

（4）原式=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

×[（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-（

1

3

+

1

4

+

1

5

…+

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

）]
=

1

2

×（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

×[

3

2

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

3

4

-

1

2(n+1)(n+2)

=

3n2+9n+4

2n2+6n+4

．
故答案為：

5

6

；

n

n+1

；17；

3n2+9n+4

2n2+6n+4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的混合運(yùn)算，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)先將多項(xiàng)式分解因式再約分．同時(shí)注意最后結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式．其中找出規(guī)律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解本題的關(guān)鍵．