Question

求證：菱形四條邊的中點在以對角線的交點為圓心的同一圓上．

Answer 1

答案：
解析：

已知：如下圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點． 　　求證：E，F(xiàn)，G，H四個點在以O(shè)為圓心的同一圓上． 　　證明：連接OE，OF，OG，OH， 　　∵四邊形ABCD為菱形， 　　∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AC⊥BD， 　　又∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點， 　　∴OE＝OF＝OG＝OH＝AB， 　　∴E，F(xiàn)，G，H四點在以O(shè)為圓心的同一圓上． 　　分析：若E，F(xiàn)，G，H四個點在同一個圓上，根據(jù)圓的概念，它們應(yīng)到定點的距離都等于定長，因為E，F(xiàn)，G，H是菱形各邊的中點，根據(jù)菱形的對角線互相垂直，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到E，F(xiàn)，G，H到O點的距離都等于菱形邊長的一半，此題得證． 　　小結(jié)：證明點共圓，只需證明這些點到定點的距離相等即可．