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2.如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)幾秒鐘,△PQB能形成等腰三角形?
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間(只要直接寫(xiě)出答案).

分析 (1)可求得AP和BQ,則可求得BP,在Rt△BPQ中,由勾股定理可求得PQ的長(zhǎng);
(2)用t可分別表示出BP和BQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ,可得到關(guān)于t的方程,可求得t;
(3)用t分別表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況,分別得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.

解答 解:
(1)當(dāng)t=2時(shí),則AP=2,BQ=2t=4,
∵AB=8cm,
∴BP=AB-AP=8-2=6(cm),
在Rt△BPQ中,由勾股定理可得PQ=BP2+BQ2=62+42=213(cm),
即PQ的長(zhǎng)為213cm;
(2)由題意可知AP=t,BQ=2t,
∵AB=8,
∴BP=AB-AP=8-t,
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),則有BP=BQ,即8-t=2t,解得t=83,
∴出發(fā)83秒后△PQB能形成等腰三角形;
(3)在△ABC中,由勾股定理可求得AC=10,
當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí),AQ=BC+AC-2t=16-2t,
∴CQ=AC-AQ=10-(16-2t)=2t-6,
∵△BCQ為等腰三角形,
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三種情況,
①當(dāng)BQ=BC=6時(shí),如圖1,過(guò)B作BD⊥AC,
則CD=12CQ=t-3,在Rt△ABC中,求得BD=245,

在Rt△BCD中中,由勾股定理可得BC2=BD2+CD2,即62=(2452+(t-3)2,解得t=6.6或t=-0.6<0(舍去);
②當(dāng)CQ=BC=6時(shí),則2t-6=6,解得t=6;
③當(dāng)CQ=BQ時(shí),則∠C=∠QBC,
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA,
∴∠A=∠QBA,
∴QB=QA,
∴CQ=12AC=5,即2t-6=5,解得t=5.5;
綜上可知當(dāng)t的值為6.6秒或6秒或5.5秒時(shí),△BCQ為等腰三角形時(shí).

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用,涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí).用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng),化“動(dòng)”為“靜”是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路,注意方程思想的應(yīng)用.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),但難度不大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.解方程:
①3x(2x+1)=4x+2        
②x2-5x+1=0.

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13.解方程:
(1)x2-4x-7=0;
(2)x2-4x-12=0.

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10.閱讀下面材料,回答問(wèn)題.
中國(guó)自古便有“十天干”與“十二地支”的說(shuō)法,簡(jiǎn)稱“干支”,源于樹(shù)木的干和枝.
十天干依次為:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支依次為:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.
十位天干和十二位地支依次順位相搭配,即:甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑…辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑…
十位天干和十二位地支依次順位相搭配,60年為一個(gè)最小循環(huán);
十二地支又與十二生肖依次順位相對(duì)應(yīng):子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬.
公元紀(jì)年換算成干支紀(jì)年,有下面的一種簡(jiǎn)便方法:
我們以2010年為例;
天干算法:2010-3=2007,2007÷10=200余7,7對(duì)應(yīng)天干第7位是庚,即天干為庚;(用公元紀(jì)年數(shù)減3,除以10(不管商數(shù))所得余數(shù),就是天干所對(duì)應(yīng)的位數(shù))
地支算法:2010-3=2007,2007÷12=167余3,3對(duì)應(yīng)地支第3位是寅,即地支為寅;(用公元紀(jì)年數(shù)減3,除以12(不管商數(shù))所得余數(shù),就是地支所對(duì)應(yīng)的位數(shù))
綜上公元2010是用天干地支紀(jì)年為庚寅年.
根據(jù)以上材料,填空,并簡(jiǎn)述計(jì)算過(guò)程及解題思路:
2016年8月,郝景芳的小說(shuō)《北京折疊》獲得第74屆雨果獎(jiǎng).這是繼劉慈欣的《三體》之后我國(guó)作家第二次獲得該獎(jiǎng)項(xiàng).郝景芳1984年07月27生于天津,用干支紀(jì)年法她生于甲子年;郝景芳的生肖(屬相)是屬蛇.

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17.如圖,△ABC中,AB=4,點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)(不與A,B重合),DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,連接CD,設(shè)S△ABC=S,S△DCE=S1
(1)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí),求S1:S的值.
(2)若AD=x,S1S=y,試用x的代數(shù)式表示y,并求x的取值范圍;
(3)是否存在點(diǎn)D,使得S114S成立?若存在,求出點(diǎn)D的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.己知,點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上,M(m,m)是邊AB上的一點(diǎn),CM⊥AB交X軸正半軸于點(diǎn)C.己知m滿足(m2+4m+3)-(m2-4)=15
(1)求M的坐標(biāo);
(2)如圖1,求OB+OC的值;
(3)如圖2,延長(zhǎng)MC交y軸于點(diǎn)D,求S△ACM-S△OCD的值;
(4)如圖3,點(diǎn)P為AM上任意一點(diǎn)(P不與A、M重合),過(guò)A作AE⊥DP,點(diǎn)E為垂足,連EM,求∠DEM的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.如圖,是用火柴棍擺成邊長(zhǎng)分別為1,2,3根火柴棍長(zhǎng)的正方形,當(dāng)邊長(zhǎng)為n根火柴棍長(zhǎng)時(shí),擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)是2n(n+1)(用含n的式子表示,n為正整數(shù)).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.某開(kāi)發(fā)公司要生產(chǎn)若干件新產(chǎn)品,需要精加工后,才能投入市場(chǎng),現(xiàn)有紅星和巨星兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品.已知紅星廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品比巨星廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品多用20天,紅星廠每天可加工16件產(chǎn)品,巨星廠每天可加工24件產(chǎn)品,公司每天需付紅星廠加工費(fèi)80元,巨星廠加工費(fèi)120元.
(1)這個(gè)公司要加工多少件新產(chǎn)品?
(2)在加工過(guò)程中,公司需另派一名工程師每天到廠家進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo),并負(fù)擔(dān)每天10元的午餐補(bǔ)助費(fèi),公司制定產(chǎn)品加工方案如下:可由一個(gè)廠單獨(dú)加工完成,也可由兩廠合作完成,請(qǐng)你幫助公司從所有可供選擇的方案中選擇一種既省錢(qián),又省時(shí)間的加工方案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.已知\frac{a}=14,則ab的值為-34

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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