分析 (1)可求得AP和BQ,則可求得BP,在Rt△BPQ中,由勾股定理可求得PQ的長(zhǎng);
(2)用t可分別表示出BP和BQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ,可得到關(guān)于t的方程,可求得t;
(3)用t分別表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況,分別得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.
解答 解:
(1)當(dāng)t=2時(shí),則AP=2,BQ=2t=4,
∵AB=8cm,
∴BP=AB-AP=8-2=6(cm),
在Rt△BPQ中,由勾股定理可得PQ=√BP2+BQ2=√62+42=2√13(cm),
即PQ的長(zhǎng)為2√13cm;
(2)由題意可知AP=t,BQ=2t,
∵AB=8,
∴BP=AB-AP=8-t,
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),則有BP=BQ,即8-t=2t,解得t=83,
∴出發(fā)83秒后△PQB能形成等腰三角形;
(3)在△ABC中,由勾股定理可求得AC=10,
當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí),AQ=BC+AC-2t=16-2t,
∴CQ=AC-AQ=10-(16-2t)=2t-6,
∵△BCQ為等腰三角形,
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三種情況,
①當(dāng)BQ=BC=6時(shí),如圖1,過(guò)B作BD⊥AC,
則CD=12CQ=t-3,在Rt△ABC中,求得BD=245,
在Rt△BCD中中,由勾股定理可得BC2=BD2+CD2,即62=(245)2+(t-3)2,解得t=6.6或t=-0.6<0(舍去);
②當(dāng)CQ=BC=6時(shí),則2t-6=6,解得t=6;
③當(dāng)CQ=BQ時(shí),則∠C=∠QBC,
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA,
∴∠A=∠QBA,
∴QB=QA,
∴CQ=12AC=5,即2t-6=5,解得t=5.5;
綜上可知當(dāng)t的值為6.6秒或6秒或5.5秒時(shí),△BCQ為等腰三角形時(shí).
點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用,涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí).用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng),化“動(dòng)”為“靜”是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路,注意方程思想的應(yīng)用.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),但難度不大.
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