Question

已知直線(xiàn)y=x+4與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A．
（1）求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度；
（2）若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C、A，且與x軸交于另一點(diǎn)B，將直線(xiàn)AC沿y軸向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，若平移后的直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N（N在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的左邊），與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E．
①是否存在這樣的m，使得△CAD是以AC為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②在直線(xiàn)AC平移的過(guò)程中，是否存在m值，使得△CDE的面積最大．若存在，請(qǐng)求出m值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4）
當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，
∴A（-4，0）
在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=．

（2）①拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，則：
，
解得；
∴拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為；
∵△CAD是以AC為底的等腰三角形，
∴點(diǎn)D在A(yíng)C的垂直平分線(xiàn)上，
此時(shí)點(diǎn)D與原點(diǎn)重合，即D（0，0），
∴m=OC=4；
則平移后的直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x，
∵點(diǎn)N是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)N（a，a），
則，
解得a=；
∵點(diǎn)N在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，
∴N（，）；
②設(shè)△CDE的面積為S，
在中，令y=0，
解得x=-4或x=2，
∴B（2，0），AB=6，
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，即當(dāng)0＜m≤6時(shí)（如圖），
平移后的直線(xiàn)為y=x+4-m，
當(dāng)y=0時(shí)，x=m-4．
∴D（m-4，0），
∴BD=2-（m-4）=6-m；
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴，∴，
解得；
∴=；
∴拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)m=3，
∵頂點(diǎn)（3，3）的橫坐標(biāo)在范圍0＜m≤6內(nèi)，
∴當(dāng)m=3，S有最大值為3；
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，即當(dāng)m＞6時(shí)（如圖），
平移后的直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4-m，
當(dāng)y=0時(shí)，x=m-4，
∴D（m-4，0），
∴BD=m-4-2=m-6；
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴，∴，
解得；
∴=；
∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為m=3，
∵在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，S隨著m的增大而增大，
∴當(dāng)m＞6時(shí)，S沒(méi)有最大值；
綜上得，在直線(xiàn)AC平移的過(guò)程中，存在m值，當(dāng)m=3，S有最大值為3，使得△CDE的面積最大．
分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)AC的解析式，可得到A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而利用勾股定理求得線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．
（2）①根據(jù)A、C的坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法確定該拋物線(xiàn)的解析式，然后用m表示出平移后的直線(xiàn)解析式，由（1）知△OAC是等腰直角三角形，若△CAD是以AC為底的等腰三角形，那么點(diǎn)D必為線(xiàn)段CA的垂直平分線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，即D、O重合，由此求得m的值，進(jìn)而可確定平移后的直線(xiàn)解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．
②此題應(yīng)分兩種情況考慮：
1）當(dāng)D在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即0＜m≤6時(shí)；過(guò)E作EF⊥x軸于F，根據(jù)拋物線(xiàn)和平移后的直線(xiàn)解析式，可得到B、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得BD、BA的長(zhǎng)，由于平移前后的直線(xiàn)互相平行，則可證得△BDE∽△BAC，因此BD：BA=EF：OC，由此可求得EF的表達(dá)式，進(jìn)而可求出△BDC和△BDE的面積，那么兩個(gè)三角形的面積差即為△CDE的面積，由此可得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出S是否具有最大值以及對(duì)應(yīng)的m的值；
2）當(dāng)D在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即m＞6時(shí)，方法同上．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：勾股定理、二次函數(shù)解析的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)；在求圖形面積的最大（�。﹩�(wèn)題時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題是常用的方法．