Question

設a、b、c為非零實數(shù)，且ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0，試問：a、b、c滿足什么條件時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根．

Answer 1

解：設三個二次方程都沒有不等的實數(shù)根，則△₁=4b²-4ac≤0；△₂=4c²-4ab≤0；△₃=4a²-4bc≤0；
三式相加得，a²+b²+c²-ab=ac-bc≤0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≤0，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0．
∴a=b=c．
即a=b=c，三個二次方程都沒有不等的實數(shù)根．
所以當a，b，c為不全相等的非零實數(shù)時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根．
分析：先設三個方程都沒有不等實數(shù)根，得到三個判別式小于或等于0，即△₁=4b²-4ac≤0；△₂=4c²-4ab≤0；△₃=4a²-4bc≤0；三式相加得，a²+b²+c²-ab=ac-bc≤0，變形為（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≤0，得到a=b=c．則三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根是a，b，c不全相等．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了從結(jié)論的反面思考問題的方法和代數(shù)式的變形能力．