Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．分別以AB，AC，BC為邊在AB的同側作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4等于____．

Answer 1

【答案】18

【解析】

過F作AM的垂線交AM于D，連接FP，通過證明△ADF≌△BCA，△DFK≌△CAT，得出S2=S△ABC；證明△FPT≌△EMK，可得出S1+S3=S△AQF=S△ABC；證明△ABC≌△EBN，得出S4=S△ABC，進而即可求解．

解：過F作AM的垂線交AM于D，連接FP，則

∠FDA=∠DAQ=∠Q=90°，∴四邊形ADFQ為矩形，∴∠PFD=90°，∴∠FPC=90°，

∴點F，P，Q在同一直線上．

∵四邊形ABEF為正方形，

∴AB=AF，∠FAB=90°=∠FAD+∠CAB，

又∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠FAD=∠ABC，

又∠ACB=∠ADF=90°

∴△ADF≌△BCA(AAS)①，

∴DF=AC，同理可得△DFK≌△CAT，
∴S2=S△ADF=S△ABC．
由△DFK≌△CAT，∴FK=AT，∠DKF=∠CTA，

∴KE=FT，∠EKM=∠FTP，又∠M=∠FPT=90°，

∴△FPT≌△EMK(AAS)，
∴S3=S△FPT，
又四邊形ADFQ為矩形，∴S△AQF＝S△ADF =S△ACB，
∴S1+S3=S△AQF=S△ABC．
同①可證明△ABC≌△EBN，
∴S4=S△ABC，
∴S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=S△ABC+S△ABC+S△ABC=6+6+6=18，
故答案為：18．