Question

如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．
（1）證明：B、C、E三點共線；
（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=

2

OM；
（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）后，記為△D₁CE₁（圖2），若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，M₁N₁=

2

OM₁是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；
（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質得到ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結論；
（3）證明的方法和（2）一樣．

解答：（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三點共線；

（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖1，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，
又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，
∴ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，
∴MN=

2

OM；

（3）成立．
理由如下：如圖2，連接BD₁，AE₁，ON₁，
∵∠ACB-∠ACD₁=∠D₁CE₁-∠ACD₁，
∴∠BCD₁=∠ACE₁，
又∵CB=CA，CD₁=CE₁，
∴△BCD₁≌△ACE₁，
與（2）同理可證BD₁⊥AE₁，△ON₁M₁為等腰直角三角形，
從而有M₁N₁=

2

OM₁．

點評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質；也考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及旋轉的性質．