已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足為E,點D與點A關(guān)于點E對稱,PB分別精英家教網(wǎng)與線段CF,AF相交于P,M.
(1)求證:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
分析:(1)由點D與點A關(guān)于點E對稱易證AC=CD,再根據(jù)角平分線,及垂直得到AC=AB,可得答案AB=CD;
(2)易證∠CAD=∠CDA=∠MPC,∠CMA=∠BMA=PMF,可得到∠MCD=∠F.
解答:(1)證明:∵AF平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB=
1
2
∠BAC,
∵D與A關(guān)于E對稱,
∴E為AD中點,
∵BC⊥AD,
∴BC為AD的中垂線,
∴AC=CD.
在Rt△ACE和Rt△ABE中,(注:證全等也可得到AC=CD)
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°,∠CAD=∠DAB,
∴∠ACE=∠ABE,
∴AC=AB(注:證全等也可得到AC=AB),
∴AB=CD.

(2)解:∠F=∠MCD,理由如下:
∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∴∠MPC=∠CDA,
∴∠MPF=∠CDM,
∵AC=AB,AE⊥BC,
∴CE=BE(注:證全等也可得到CE=BE),
∴AM為BC的中垂線,
∴CM=BM.(注:證全等也可得到CM=BM)
∵EM⊥BC,
∴EM平分∠CMB(等腰三角形三線合一).
∴∠CME=∠BME(注:證全等也可得到∠CME=∠BME.),
∵∠BME=∠PMF,
∴∠PMF=∠CME,
∴∠MCD=∠F.(注:證三角形相似也可得到∠MCD=∠F)
點評:本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì);解題時需注意充分利用兩點關(guān)于某條直線對稱,對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分,進而得到相應(yīng)的線段相等,角相等.
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