Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，現(xiàn)將一塊邊長(zhǎng)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O，兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，然后將三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°），旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H，四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖所示），那么，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：
（1）線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）連接HK，設(shè)BH=x．當(dāng)△CKH的面積為

3

2

時(shí)，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OC，由于∠ACB=90°，AC=BC=4，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=95°，再根據(jù)O為AB的中點(diǎn)得到OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠COK=∠BOH=α，于是可根據(jù)“SAS”判斷△COK≌△BOH，所以CK=BH，S_△COK=S_△BOH，則可計(jì)算出四邊形CHOK的面積=S_△COB=

1

2

S_△ABC=4；
（2）利用CK=BH，則CK=x，CH=4-x，根據(jù)三角形面積公式得到∴

1

2

x（4-x）=

3

2

，然后解一元二次方程即可．

解答：解：（1）線段BH=CK；四邊形CHOK的面積等于4．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠B=45°，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°），直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H，
∴∠COK=∠BOH=α，
∵在△COK和△BOH中，

∠KCO=∠B CO=BO ∠KOC=∠HOB

∴△COK≌△BOH，
∴CK=BH，S_△COK=S_△BOH，
∴四邊形CHOK的面積=S_△COB=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

4×4=4；

（2）∵BH=x，
∴CK=x，CH=4-x，
∴

1

2

x（4-x）=

3

2

，
解得x₁=1，x₂=3，
∴x的值為1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．