Question

已知：在△PAB的邊PA、PB上分別取點C、D，連接CD使CD∥AB．將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉得到△PC′D′（∠APC′＜∠APB），連接AC′、BD′．
（1）如圖1，若∠APB=90°，PA=PB，求證：AC′=BD′；AC′⊥BD′．
（2）在圖1中，連接AD′、BC′，分別取AB、AD′、C′D′、BC′的中點E、F、G、H，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH．請判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．
（3）①如圖2，若改變（1）中∠APB的大小，使0°＜∠APB＜90°，其他條件不變，重復（2）中操作．請你直接判斷四邊形EFGH的形狀．
②如圖3，若改變（1）中PA、PB的大小關系，使PA＜PB，其他條件不變，重復（2）中操作，請你直接判斷是四邊形EFGH的形狀．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）延長AC′交BD′于點M，由旋轉的性質和等腰直角三角形的性質就可以得出△AC′P≌△BD′P就可以得出AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′，由∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，就可以得出∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，即∠MAB+∠ABM=90°，就有∠AMB=90°，得出AC′⊥BD′；
（2）根據(jù)三角形的中位線的性質就可以得出EF=GH=

1

2

BD′，GF=EH=

1

2

AC′，由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE，由平行線的性質就可以得出∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，就可以得出∠FEH=90°，進而得出四邊形EFGH是正方形；
（3）①由條件可以得出△AC′P≌△BD′P，就可以得出AC′=BD′，根據(jù)三角形的中位線的性質就可以得出EF=GH=

1

2

BD′，GF=EH=

1

2

AC′，由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE，就有四邊形EFGH是菱形；
②延長AC′交BD′于點M，由旋轉的性質和等腰直角三角形的性質就可以得出△AC′P∽△BD′P，就有∠PAC′=∠PBD′，就有∠MAB+∠ABM=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質就可以得出EF=GH=

1

2

BD′，GF=EH=

1

2

AC′，就可以得出四邊形EFGH是矩形．

解答：解：（1）延長AC′交BD′于點M，
∵∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°．
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵CD∥AB，
∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD．
∵將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉得到△PC′D′，
∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．
∴∠APB-∠C′PB=∠C′PD′-∠C′PB，PC′=PD′．
∴∠APC′=∠BPD′．
在△AC′P和△BD′P中，

PA=PB ∠APC′=∠BPD′ PC′=PD′

，
∴△AC′P≌△BD′P（SAS），
∴AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′．
∵∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AC′⊥BD′．
∴AC′=BD′；AC′⊥BD′；

（2）四邊形EFGH是正方形．
∵點E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點，
∴EF=GH=

1

2

BD′，GF=EH=

1

2

AC′，EF∥BD′，EH∥AM，
∴∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∴∠FEH=90°
∵AC′=BD′，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是正方形；

（3）①四邊形EFGH是菱形．
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵CD∥AB，
∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD．
∵將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉得到△PC′D′，
∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．
∴∠APB-∠C′PB=∠C′PD′-∠C′PB，PC′=PD′．
∴∠APC′=∠BPD′．
在△AC′P和△BD′P中，

PA=PB ∠APC′=∠BPD′ PC′=PD′

，
∴△AC′P≌△BD′P（SAS），
∴AC′=BD′．
∵點E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點，
∴EF=GH=

1

2

BD′，GF=EH=

1

2

AC′，
∵AC′=BD′，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形；
②四邊形EFGH是矩形．
如圖3，延長AC′交BD′于點M，
∵將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉得到△PC′D′，
∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．
∴∠APB-∠C′PB=∠C′PD′-∠C′PB，．
∴∠APC′=∠BPD′．
∵CD∥AB，
∴

PC

PA

=

PD

PB

，
∴

PC′

PA

=

PD′

PB

．
∴△AC′P∽△BD′P，
∴∠PAC′=∠PBD′．
∵∠APB=90°，
∴∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°．
∵點E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點，
∴EF=GH=

1

2

BD′，GF=EH=

1

2

AC′，EF∥BD′，EH∥AM，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∴∠FEH=90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形．

點評：本題考查了等腰三角形的性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，垂直的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，正方形的判定的運用，菱形的判定的運用，矩形的判定的運用，三角形的中位線的判定及性質的運用，解答時利用三角形的中位線的性質求解是關鍵．