【答案】
分析:(1)當(dāng)t=4時(shí),B(4,0),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.把A(0,6),B(4,0)代入解析式即可求出未知數(shù)的值,從而求出其解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E,由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,得△AOB∽△BEC.即
=
=
=
,BE=
AO=3,CE=
OB=
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t+3,
).由于AB⊥BC,AB=2BC,∴S
△ABC=
AB•BC=BC
2.在Rt△ABC中,由勾股定理得BC
2=CE
2+BE
2=
t
2+9,即S
△ABC=
t
2+9.
(3)①當(dāng)t≥0時(shí)Ⅰ,若AD=BD.由于BD∥y軸,故∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD,所以∠OAB=∠BAD.因?yàn)椤螦OB=∠ABC,所以△ABO∽△ACB,故
=
=
,即
=
,∴t=3,即B(3,0).
Ⅱ.若AB=AD.延長(zhǎng)AB與CE交于點(diǎn)G,由于BD∥CG∴AG=AC過(guò)點(diǎn)A畫(huà)AH⊥CG于H.CH=HG=
CG,由△AOB∽△GEB,
得
=
,故GE=
.由于HE=AO=6,CE=
,t
2-24t-36=0,解得:t=12±6
.因?yàn)閠≥0,所以t=12+6
,即B(12+6
,0).
Ⅲ.由已知條件可知,當(dāng)0≤t<12時(shí),∠ADB為銳角,故BD≠AB.當(dāng)t≥12時(shí),BD≤CE<BC<AB.故當(dāng)t≥0時(shí),不存在BD=AB的情況.
②當(dāng)-3≤t<0時(shí),如圖,∠DAB是鈍角.設(shè)AD=AB過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥x軸,CF⊥y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)F.可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t+3,
),
∴CF=OE=t+3,AF=6-
,由BD∥y軸,AB=AD得,∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB故∠BAO=∠FAC,
又∵∠AOB=∠AFC=90°,∴△AOB∽△AFC,∴
=
,求得t的關(guān)系式t
2-24t-36=0,解得:t=12±6
.因?yàn)?3≤t<0,所以t=12-6
,即B(12-6
,0).
③當(dāng)t<-3時(shí),如圖,∠ABD是鈍角.設(shè)AB=BD,過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥x軸,CF⊥y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)F,可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)(t+3,
),故CF=-(t+3),AF=6-
,由于AB=BD,故∠D=∠BAD.又因?yàn)锽D∥y軸,故∠D=∠CAF,∠BAC=∠CAF.又因?yàn)椤螦BC=∠AFC=90°,AC=AC,所以△ABC≌△AFC,故AF=AB,CF=BC,∴AF=2CF,即6-
=-2(t+3),解得:t=-8,即B(-8,0).
解答:解:(1)當(dāng)t=4時(shí),B(4,0),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.
把A(0,6),B(4,0)代入得:
,
解得:
,
∴直線AB的解析式為:y=-
x+6.
(2)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E,
由∠AOB=∠CEB=90°,∠ABO=∠BCE,得△AOB∽△BEC.
∴
=
=
=
,
∴BE=
AO=3,CE=
OB=
,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t+3,
).
方法一:
S
梯形AOEC=
OE•(AO+EC)=
(t+3)(6+
)=
t
2+
t+9,
S
△AOB=
AO•OB=
×6•t=3t,
S
△BEC=
BE•CE=
×3×
=
t,
∴S
△ABC=S
梯形AOEC-S
△AOB-S
△BEC=
t
2+
t+9-3t-
t
=
t
2+9.
方法二:
∵AB⊥BC,AB=2BC,
∴S
△ABC=
AB•BC=BC
2.
在Rt△ABC中,BC
2=CE
2+BE
2=
t
2+9,
即S
△ABC=
t
2+9.
(3)存在,理由如下:
①當(dāng)t≥0時(shí),
Ⅰ.若AD=BD,
又∵BD∥y軸,
∴∠OAB=∠ABD,∠BAD=∠ABD,
∴∠OAB=∠BAD,
又∵∠AOB=∠ABC,
∴△ABO∽△ACB,
∴
=
=
,
∴
=
,
∴t=3,即B(3,0).
Ⅱ.若AB=AD.
延長(zhǎng)AB與CE交于點(diǎn)G,
又∵BD∥CG,
∴AG=AC,
過(guò)點(diǎn)A畫(huà)AH⊥CG于H.
∴CH=HG=
CG,
由△AOB∽△GEB,
得
=
,
∴GE=
.
又∵HE=AO=6,CE=
,
∴
+6=
×(
+
),
∴t
2-24t-36=0,
解得:t=12±6
.因?yàn)閠≥0,
所以t=12+6
,即B(12+6
,0).
Ⅲ.由已知條件可知,當(dāng)0≤t<12時(shí),∠ADB為銳角,故BD≠AB.
當(dāng)t≥12時(shí),BD≤CE<BC<AB.
∴當(dāng)t≥0時(shí),不存在BD=AB的情況.
②當(dāng)-3≤t<0時(shí),如圖,∠DAB是鈍角.設(shè)AD=AB
過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥x軸,CF⊥y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)F.
可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t+3,
),
∴CF=OE=t+3,AF=6-
,
由BD∥y軸,AB=AD得,
∠BAO=∠ABD,∠FAC=∠BDA,∠ABD=∠ADB,
∴∠BAO=∠FAC,
又∵∠AOB=∠AFC=90°,
∴△AOB∽△AFC,
∴
=
,
∴
=
,
∴t
2-24t-36=0,
解得:t=12±6
.因?yàn)?3≤t<0,
所以t=12-6
,即B(12-6
,0).
③當(dāng)t<-3時(shí),如圖,∠ABD是鈍角.設(shè)AB=BD,
過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥x軸,CF⊥y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)F,
可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t+3,
),
∴CF=-(t+3),AF=6-
,
∵AB=BD,
∴∠D=∠BAD.
又∵BD∥y軸,
∴∠D=∠CAF,
∴∠BAC=∠CAF.
又∵∠ABC=∠AFC=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC,
∴AF=AB,CF=BC,
∴AF=2CF,即6-
=-2(t+3),
解得:t=-8,即B(-8,0).
綜上所述,存在點(diǎn)B使△ABD為等腰三角形,
此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為:B
1(3,0),B
2(12+6
,0),B
3(12-6
,0),B
4(-8,0).
點(diǎn)評(píng):本題比較繁瑣,難度很大,解答此題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形作出輔助線,結(jié)合等腰三角形,全等三角形的判定及性質(zhì)解答.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用.