Question

（2006•揚(yáng)州）圖1是用鋼絲制作的一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=3．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在射線OX上由點(diǎn)O開(kāi)始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在射線OY上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖3），當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束．
（1）試說(shuō)明在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，原點(diǎn)O始終在⊙G上；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），試探求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)镺G始終是⊙G的半徑，所以原點(diǎn)O始終在⊙G上；
（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弧AC的長(zhǎng)保持不變，弧AC所對(duì)應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠x(chóng)OC=30°，y=．即自變量x的取值范圍是≤x≤3；
（3）利用勾股定理可求得，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3=9-3．
解答：解：（1）∵AB是⊙G的直徑，
∴∠AOB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴原點(diǎn)O始終在⊙G上；

（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弧AC的長(zhǎng)保持不變，
弧AC所對(duì)應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，
由圖2可知，∠AOC=30°，y=，
即自變量x的取值范圍是≤x≤3；

（3）解：如圖1，連接OG．
∵∠AOB是直角，G為AB中點(diǎn)，
∴GO=AB=半徑，
∴原點(diǎn)O始終在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴BC=3，
連接OC．則∠AOC=∠ABC，
∴tan∠AOC==，
∴點(diǎn)C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運(yùn)動(dòng)．
如圖2，C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖3，C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3=9-3．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．