請閱讀下列材料:
已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn),若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,直接寫出你的猜想;
(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上,動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時,如圖(2),其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明;
(3)已知:如圖(3),等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E在邊AB上,且∠DCE=30°,請你找出一個條件,使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形,并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù).

【答案】分析:(1)DE2=BD2+EC2,將△ADB沿直線AD對折,得△AFD,連FE,容易證明△AFD≌△ABD,然后可以得到AF=AB,F(xiàn)D=DB,∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,再利用已知條件可以證明△AFE≌△ACE,從而可以得到∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,根據(jù)勾股定理即可證明猜想的結(jié)論;
(2)根據(jù)(1)的思路一樣可以解決問題;
(3)當(dāng)AD=BE時,線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形.如圖,與(1)類似,以CE為一邊,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA,然后可以得到AD=DF,EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°,這樣就可以解決問題.
解答:解:(1)DE2=BD2+EC2;

(2)關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
證明:將△ADB沿直線AD對折,得△AFD,連FE
∴△AFD≌△ABD,
∴AF=AB,F(xiàn)D=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
∴∠FAE=∠EAC,
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE,
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
∴在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2
即DE2=BD2+EC2;

(3)當(dāng)AD=BE時,線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形.
如圖,與(2)類似,以CE為一邊,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,
可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA.
∴AD=DF,EF=BE.
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.
若使△DFE為等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE,
∴當(dāng)AD=BE時,線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形,且頂角∠DFE為120°.
點(diǎn)評:此題比較復(fù)雜,考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識點(diǎn),此題關(guān)鍵是正確找出輔助線,通過輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題,要掌握輔助線的作圖根據(jù).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

25、請閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn),若∠DAE=45度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上,動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時,如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

11、請閱讀下列材料:
已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn),若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,直接寫出你的猜想;
(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上,動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時,如圖(2),其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明;
(3)已知:如圖(3),等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E在邊AB上,且∠DCE=30°,請你找出一個條件,使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形,并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:已知方程x2+x-3=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x.
所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
2+
y
2
-3=0,化簡,得y2+2y-12=0.
故所求方程為y2+2y-12=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
問題:已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的3倍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

請閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn),若∠DAE=45度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上,動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時,如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:

已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB = AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn),若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連結(jié)E′D,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:

(1)猜想BDDEEC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明;                     

(2)當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上,動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時,如圖(2),其它條件 不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.

                                                             

 圖(2)

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