Question

已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為厘米，對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)E從點(diǎn)A，點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，過E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H，過F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S₁，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S₂（這里規(guī)定：線段的面積為0）E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止．若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，解答下列問題：
（1）如圖，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明；
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，求x為何值時(shí)，S₁=S₂；
（3）若y是S₁與S₂的和，試用x的代數(shù)式表示y．（如圖為備用圖）

Answer 1

解：（1）四邊形EFGH是矩形．理由如下：
∵點(diǎn)E從點(diǎn)A，點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，
∴AE=CF．
∵EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，
∴EH∥FG．
∵ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，∠GCF=∠HAE=45°，
又∵EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，
∴∠CGF=∠AHE=45°，
∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE，
∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵EH⊥AC
∴平行四邊形EFGH是矩形；

（2）∵正方形邊長(zhǎng)為，∴AC=16．
∵AE=x，連接BD交AC于O，則BO⊥AC且BO=8，
∴S₂=•AE•BO=4x．
∵CF=GF=AE=x，∴EF=16-2x，
∴S₁=EF•GF=x（16-2x）．
當(dāng)S₁=S₂時(shí)，x（16-2x）=4x，
解得x₁=0（舍去），x₂=6．
∴當(dāng)x=6時(shí)，S₁=S₂；

（3）①當(dāng)0≤x＜8時(shí)，y=x（16-2x）+4x=-2x²+20x．
②當(dāng)8≤x≤16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．
∴S₁=（16-x）（2x-16）．
∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x²+52x-256．
綜上，可知y=．
分析：（1）首先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同得出AE=CF，再由正方形的性質(zhì)及已知EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC得出△CGF與△AHE都是等腰直角三角形，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；
（2）首先由勾股定理求出正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為16．再連接BD交AC于O，則BO=8．然后用含x的代數(shù)式分別表示S₁，S₂，當(dāng)S₁=S₂時(shí)得出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（3）因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)S₁=0，y=S₂．故應(yīng)分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況討論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．