Question

問題背景：如圖1，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一條直線上，連接BG，DE．
問題探究：
（1）①如圖1所示，當(dāng)G在CD邊上時，猜想線段BG、DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系．（不要求證明）
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，請選擇圖2或圖3證明你的判斷．
類比研究：
（2）若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖所示），且=k（其中k＞0），請直接寫出線段BG、DE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．請選擇圖5或圖6證明你的判斷．
拓展應(yīng)用：
（3）在（1）中圖2中，連接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．

Answer 1

解；（1）①BG=DE，BG⊥DE；
②仍然成立，選擇圖2證明如下：
證明：∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形；
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG⊥DE，=k，
如圖5，
證明：
∵四邊形ABCD，CEFG都是矩形，且==k，
∴==k，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，=k，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（3）∵BG⊥DE，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵AB=3，CE=2，
∴BD=3，GE=2，
∴BD²+GE²=（3）²+（2）²=26，
∴BE²+DG²=26．
分析：（1）①利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用對應(yīng)角關(guān)系得出即可；
②利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用對應(yīng)角關(guān)系得出即可；
（2）利用相似三角形的判定得出△BCG∽△DCE，進(jìn)而得出即可；
（3）利用勾股定理得出BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，進(jìn)而得出答案即可．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．