Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)：A

 

，B

 

，C

 

，

 

，AD的中點(diǎn)E

 

；
（2）求以E為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C的拋物線的解析式；
（3）求對(duì)角線BD與上述拋物線除點(diǎn)B以外的另一交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）△PEB的面積S_△PEB與△PBC的面積S_△PBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意和圖象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，把點(diǎn)B（0，-1）代入可得a=-

1

2

，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）利用直線BD的解析式為y=

1

2

x-1，和拋物線解析式聯(lián)立成方程組即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，

1

2

）；
（4）分別求出S_△PEB=

1

2

S_△PBC•S_△PBC=

1

2

×4×

3

2

=3，S_△PEB=

1

2

×（1×2+1×1）=

3

2

，從而證明S_△PEB=

1

2

S_△PBC．

解答：解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，-1），
∴a（0-2）²+1=-1，解得a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-2）²+1，
經(jīng)驗(yàn)證，拋物線y=-

1

2

（x-2）²+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，-1）；

（3）直線BD的解析式為y=

1

2

x-1，解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo)：P（3，

1

2

）；

（4）S_△PEB=

1

2

S_△PBC•S_△PBC=

1

2

×4×

3

2

=3，S_△PEB=

1

2

×（1×2+1×1）=

3

2

，
∴S_△PEB=

1

2

S_△PBC．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了坐標(biāo)的對(duì)稱特點(diǎn)和二次函數(shù)中的有關(guān)性質(zhì)．本題是數(shù)形結(jié)合的綜合題，要熟練運(yùn)用解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系求解．把幾何圖形有機(jī)的和二次函數(shù)結(jié)合起來(lái)．