Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C、D在圓O上，且AD平分∠CAB.過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E,與AB的延長線相交于點F.

(1)求證：EF與圓O相切；

(2)若AB=6，AD=4，求EF的長。

（第23題）

  

Answer 1

解：（1）證明：聯(lián)接OD如圖,因為OA=OD,所以∠OAD=∠ODA

又因為AD平分∠BAC,所以∠OAD=∠CAD

所以∠ODA=∠CAD。所以OD∥AE,又因為EF垂直于AE,所以OD垂直于EF,

所以EF與圓O相切；

（第23題答圖1）

（2）如圖聯(lián)接OD、CD、BD、BC，則CD=BD,因為AB是直徑，所以∠ACB=∠ADB=90°，

又因為AB=6，AD=4，所以BD=,所以CD=2.

因為∠ACB=∠E,所以BC∥EF.

因為AD平分∠CAB,所以∠OAD=∠CAD，又因為∠ADB=∠E,所以△ADE∽△ABD

,所以，所以DE=.

在Rt△CDE中，CE=所以DG=.OG=3-=.

在Rt△OGB中，GB=

因為∠ACB=∠E,所以BC∥EF.所以△OGB∽△ODF,所以，所以DF=.

所以EF=DE+DF=+=.

（第23題答圖2）