Question

已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+x-a=0（a≠0）．
（1）求證：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，該方程恒有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x₁、x₂是該方程的兩個(gè)根，若|x₁|+|x₂|=4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求證：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，該方程恒有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根，即證明一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若兩根之積小于0，則方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到，兩根之和與兩根之積，把|x₁|+|x₂|=4變形成與兩根之和與兩根之積有關(guān)的式子，代入兩根之和與兩根之積，求得a的值．

解答：證明：（1）∵△=1+4a²．
∴△＞0．
∴方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂．
∵a≠0．
∴x₁•x₂=-1＜0．
∴方程恒有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根；

解：（2）∵x₁•x₂＜0．
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=4．
則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16．
又∵x₁+x₂=-

1

a

．
∴

1

a2

+4=16．
∴a=±

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
①△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．