Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（4，0），B（5，5）．點(diǎn)C是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，且tan∠OCB=．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線l的解析式；
（3）過O，B兩點(diǎn)作直線，如果P是直線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸，交拋物線于點(diǎn)Q．問：是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-4），把B（5，5）代入求得解析式．
（2）過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．設(shè)直線l的解析式為y=kx-4，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出k值之后可求出直線l的解析式．
（3）首先證明△PBQ∽△OBC根據(jù)線段比求出P₂，然后可知拋物線y=x²-4x與直線l的交點(diǎn)就是滿足題意的點(diǎn)Q，令x²-4x=x-4求出P₁的坐標(biāo)．然后分情況討論點(diǎn)P的坐標(biāo)的位置．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（4，0），
可設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-4），
把B（5，5）代入，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-4x．（4分）

（2）過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，5），
∴BD=5，OD=5．
∵tan∠OCB==，
∴CD=9，
∴OC=CD-OD=4．
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-4）．（2分）
設(shè)直線l的解析式為y=kx-4，
把B（5，5）代入，得5=5k-4，
解得k=．
∴直線l的解析式為y=x-4．（2分）

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上（即0＜x＜5時(shí)），
∵PQ∥y軸，
∴∠BPQ=∠BOC=135度．
當(dāng)=時(shí)，△PBQ∽△OBC．
這時(shí)，拋物線y=x²-4x與直線l的交點(diǎn)就是滿足題意的點(diǎn)Q，
那么x²-4x=x-4，
解得x₁=5（舍去），x₂=，
∴P₁（，）；（2分）
又當(dāng)=時(shí)，△PQB∽△OBC．
∵PB=（5-x），PQ=x-（x²-4x）=5x-x²，OC=4，OB=5，
∴，
整理得2x²-15x+25=0，
解得x₁=5（舍去），x₂=，
∴P₂（，）．（2分）
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)（即x＜0=時(shí)），
∵PQ∥y軸，
∴∠BPQ=45°，△BPQ中不可能出現(xiàn)135°的角，這時(shí)以P，Q，B為頂點(diǎn)的三角形不可能與△OBC相似．
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)（即x＞5）時(shí)，
∵∠BPQ=135°，
∴符合條件的點(diǎn)Q即在拋物線上，同時(shí)又在直線l上；
或者即在拋物線上，同時(shí)又在Q₂，B所在直線上（Q₂為上面求得的P₂所對(duì)應(yīng)）．
∵直線l（或直線Q₂B）與拋物線的交點(diǎn)均在0＜x≤5內(nèi)，而直線與拋物線交點(diǎn)不可能多于兩個(gè)，
∴x＞5時(shí)，以P，Q，B為頂點(diǎn)的三角形也不可能與△OBC相似．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)只有兩個(gè)：P₁（，），P₂（，）．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，特別要注意的是考生需全面分析討論從而求解．