Question

操作實(shí)驗(yàn)：

如圖，把等腰三角形沿頂角平分線(xiàn)對(duì)折并展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱(chēng)．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
歸納結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的角也相等．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
思考驗(yàn)證：如圖（4），在△ABC中，AB=AC．試說(shuō)明∠B=∠C的理由；

探究應(yīng)用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為A，DA⊥AB，垂足為B．E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE與AD是否相等，為什么？
（2）小明認(rèn)為AC是線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)，你認(rèn)為對(duì)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；
（3）∠DBC與∠DCB相等嗎試？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：思考驗(yàn)證：

過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；

探究應(yīng)用：

（1）說(shuō)明：因?yàn)镃B⊥AB，
∴∠CBA=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵DA⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∴∠ADB+∠1=90°．
∴∠ADB=∠2．
在△ADB和△BEC中，
∴△DAB≌△EBC（ASA）．
∴DA=BE．

（2）∵E是AB中點(diǎn)，
∴AE=BE．
∵AD=BE，
∴AE=AD．
在△ABC中，因?yàn)锳B=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC=CE．
∴C在線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)上．
∵AD=AE，
∴A在線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)上．
∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)，
∴CD=CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB=CE．
∴CD=BD．
∴∠DBC=∠DCB．
分析：思考驗(yàn)證：作等腰三角形底邊上的高，構(gòu)造全等三角形．
（1）BE與AD在兩個(gè)直角三角形中，證這兩個(gè)直角三角形全等即可；
（2）可證點(diǎn)A，C在線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)上．注意結(jié)合（1）的結(jié)論，利用全等證明即可；
（3）由第二問(wèn)的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得到CD=CE，由第一問(wèn)的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．
點(diǎn)評(píng)：做等腰三角形的底邊上的高是常用的輔助線(xiàn)方法．當(dāng)線(xiàn)段在兩個(gè)三角形中時(shí)，一般要證明這兩條線(xiàn)段所在的三角形全等；證明在同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等時(shí)，要利用等邊對(duì)等角這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．