Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)C（0，6），BC∥OA，OB=10，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，連接EF并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)D，當(dāng)F點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒
（1）當(dāng)四邊形ABED是平行四邊形時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)△BEF的面積最大時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)以BE為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，求t的值；
（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E、F會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，求t的值．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锽C∥OA，所以可判定△EBF∽△DOF，得到關(guān)于OD和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系式，當(dāng)四邊形ABED是平行四邊形時(shí)EB=AD，進(jìn)而求出時(shí)間t；
（2）用含有t的代數(shù)式表示出△BEF的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出當(dāng)△BEF的面積最大時(shí)，t的值；
（3）利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可；
（4）假設(shè)會(huì)在同一反比例函數(shù)圖象上，表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，說明會(huì)在同一函數(shù)圖象上，求出方程的解就是運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，如果方程無(wú)解說明不會(huì)在同一函數(shù)圖象上．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴△EBF∽△DOF，
∴

EB

DO

=

BF

OF

，
即：

t

OD

=

10-2t

2t

，得到：OD=

t2

5-t

，
∴當(dāng)四邊形ABED是平行四邊形時(shí)，EB=AD，
即10-

t2

5-t

=t，
∴t=

10

3

；

（2）s=

1

2

t(10-2t)

3

5

=-

3

5

(t-2.5)2+

15

4

，
∴當(dāng)t=2.5時(shí)，△EBF的面積最大；

（3）當(dāng)以BE為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，則∠EFB=90°，
∵△EFB∽△OCB，
∴

t

10-2t

=

5

4

，
∴t=

25

7

；

（4）依題意有6（8-t）=（2t×

8

10

）×（2t×

6

10

），
解得t₁=

-25+5 281

16

，t₂=

-25-5 281

16

（負(fù)值舍去）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解的情況，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中需要多加練習(xí)熟練掌握．