Question

如圖，從ABCD的頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F．求證：AB·AE＋AD·AF＝AC²．

Answer 1

答案：
解析：

證明：作BG⊥AC于G，則 　　∵∠3＝∠3，∠BGA＝∠CEA＝， 　　∴△ABG∽△ACE． 　　∴＝． 　　∴AC·AG＝AB·AE．① 　　又∵BC∥AD，CF⊥AF， 　　∴∠1＝∠2，∠CGB＝∠CFA＝， 　　∴△CBG∽△ACF． 　　∴＝． 　　∴AC·CG＝CB·AF② 　�、伲�②，得 　　AC2＝AC(AG＋CG)＝AC·AG＋AC·CG 　�。紸E·AB＋AF·BC．

提示：

點(diǎn)悟：等式左邊兩項(xiàng)均為兩線段之積，而右邊為AC2，故應(yīng)設(shè)法將AC2拆成兩線段積的形式，而AC并不能表示成兩條線段的比例中項(xiàng)，但AC2＝AC(AG＋GC)＝AC·AG＋AC·GC，只需AC·AG和AC·GC與左端兩項(xiàng)分別相等即可(作BG⊥AC于G)． 　　點(diǎn)撥：一般地，要證形如ab＝cd＋ef的線段關(guān)系，常常在a(或b)上取一點(diǎn)P，使ab化為兩項(xiàng)和的形式，然后利用比例中的有關(guān)定理，在等式兩邊的對應(yīng)項(xiàng)之間建立相等關(guān)系．