Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD．

Answer 1

【答案】分析：利用已知條件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．
解答：證法一：如答圖所示，延長AC，到E使CE=CD，連接DE．
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠B=∠CAB=（180°-∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，
∴∠B=∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中，
∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴AE=AB．
∵AE=AC+CE=AC+CD，
∴AB=AC+CD．

證法二：如答圖所示，在AB上
截取AE=AC，連接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AED中，
AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90，CD=ED，
又∵AC=BC，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質；通過SAS的條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結論來求得三角形各邊之間的關系．