Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A重合），過點(diǎn)P作AB的垂線交BC于點(diǎn)Q．
（1）在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據(jù)QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據(jù)余弦的定義得cosB===，可計(jì)算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB==，可計(jì)算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）連結(jié)AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB===，
而BP=6，AP=1，
∴BC=，
在Rt△BPQ中，cosB==，
∴BQ==10，
∴QC=BQ-BC=10-=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查圓周角定理的推論以及解直角三角形．