Question

已知實數a≠b，且滿足（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²．則的值為________．

Answer 1

-23
分析：根據已知條件“（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²”求出a+1、b+1是關于x的方程x²+3x-3=0的兩個根，
然后再根據根與系數的關系求得a+b=-5，ab=1；最后將其代入化簡后的二次根式并求值即可．
解答：∵（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²．
∴（a+1）²+3（a+1）-3=0，（b+1）²+3（b+1）-3=0，
顯然，a+1、b+1是關于x的方程x²+3x-3=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-3，即a+1+b+1=-3，
∴a+b=-5；
x₁•x₂=-3，即（a+1）（b+1）=ab+（a+b）+1=-3，
∴ab=1，
∴a=，b=；
∴，
=b|b|+a|a|，
=-[（b+a）²-2ab]，
=-25+2，
=-23；
故答案是：-23．
點評：本題考查了根與系數的關系、二次根式的化簡求值．解答此題時，如果先根據已知條件求得a、b的值，然后將其代入所求的代數式求值，那計算過程是相當的繁瑣．根據已知條件“（a+1）²=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）²”可以知，“（a+1）²+3（a+1）-3=0，（b+1）²+3（b+1）-3=0”，仔細觀察這兩個等式可知：a+1、b+1是關于x的方程x²+3x-3=0的兩個根．然后再根據一元二次方程的根與系數的關系求得a與b的數量關系，并將其代入所求的代數式求值．這樣，計算會變得簡單多了．