如圖,△ABC中,∠C=90°,⊙O為它的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別是D、E、F.
(I)若AC=4,BC=3,求:△ABC的內(nèi)切圓的半徑;
(II)若△ABC的內(nèi)切圓半徑r,△ABC的周長為l,則S△ABC的值為
1
2
r
l
1
2
r
l

(III)若AD=x,BD=y,求S△ABC
分析:(1)根據(jù)已知得出四邊形OECF是正方形,根據(jù)切線長定理可得:CE=CF=
1
2
(AC+BC-AB),得出內(nèi)切圓半徑即可;
(2)根據(jù)△ABC的內(nèi)切圓半徑r,△ABC的周長為l,分隔三角形面積得出△ABC的面積即可;
(3)根據(jù)AD=x,BD=y,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則BC=r+y,AC=r+x,斜邊AB=x+y,利用勾股定理得出r,進(jìn)而得出三角形面積即可.
解答:解:(1)如圖;
在Rt△ABC,∠C=90°,AC=4,BC=3;
根據(jù)勾股定理AB=
AC2+BC2
=5;
四邊形OECF中,OE=OF,∠OEC=∠OFC=∠C=90°;
∴四邊形OECF是正方形;
由切線長定理,得:AD=AF,BD=BE,CE=CF;
∴CE=CF=
1
2
(AC+BC-AB);
即:r=
1
2
(3+4-5)=1;

(2)由題意,如圖,
連接OE,OD,OF;OA,OB,OC;則:OE⊥AB,OF⊥AC,OD⊥BC;
∴△ABC的面積=
1
2
AB×OE+
1
2
BC×OD+
1
2
AC×OF
∵OE=OF=OD=r,AB+BC+AC=l,
∴△ABC的面積=
1
2
AB×r+
1
2
BC×r+
1
2
AC×r=
1
2
r
(AB+BC+AC)
=
1
2
r
l.

(3)假設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則BC=r+y,AC=r+x,斜邊AB=x+y,
用勾股定理:(x+r)2+(y+1)2=(x+y)2
解得:r=
-x-y±
(x+y) 2+4xy
2
,
∴r=
-x-y+
x2+y2+6xy
2
,
∴S△ABC=
1
2
×AC×BC=
1
2
×(x+
-x-y+
x2+y2+6xy
2
)(y+
-x-y+
x2+y2+6xy
2

=
1
2
×
x2+y2+6xy
+(x-y)
2
×
x2+y2+6xy
-(x-y)
2

=
8xy
8

=xy.
點(diǎn)評:此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心以及直角三角形的性質(zhì),解答的關(guān)鍵是,充分利用已知條件,將問題轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)三角形面積的和.
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26、已知:如圖,△ABC中,點(diǎn)D在AC的延長線上,CE是∠DCB的角平分線,且CE∥AB.
求證:∠A=∠B.

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27、已知:如圖,△ABC中,∠BAC=60°,D、E兩點(diǎn)在直線BC上,連接AD、AE.
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(1)求∠2的度數(shù);
(2)若畫∠DAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E,則AE與BC有什么位置關(guān)系,請說明理由.

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