Question

（2009•宜賓）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，等腰梯形OABC的下底邊OA在x軸的正半軸上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，4）．
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)0、B、C的拋物線的解析式；
（3）在第一象限內(nèi)（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P且與等腰梯形一腰平行的直線將該梯形分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過構(gòu)建直角三角形來求解，過C作CD⊥OA于D，過B作BE⊥OA于E，在直角三角形OCD和ABE中，可根據(jù)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)即CD，BE的長(zhǎng)和兩底角的正切值求出AE，OD的長(zhǎng)，即可求出C、A的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)已知的三點(diǎn)坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）應(yīng)該有兩個(gè)符合條件的P點(diǎn)，以過P且平行于AB的直線為例說明：可設(shè)過P且平行于等腰梯形一腰AB的直線與BC、OA的交點(diǎn)為M、N，那么平行四邊形MBAN的面積就是梯形面積的一半，據(jù)此可求出BM，AN的長(zhǎng)，即可求出BM、AN的長(zhǎng)，即可求出M、N的坐標(biāo)也就求出了直線MN的解析式和拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和等腰梯形的對(duì)稱性，求出的P點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)也應(yīng)該符合題意．
解答：解：（1）過C作CD⊥OA于D，過B作BE⊥OA于E，
在直角三角形ABE中，BE=4，tan∠BAE=，
∴AE=3，同理可求得OD=3．
因此C（3，4），A（10，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
則有：，
解得，
∴y=-x²+x．

（3）假設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，設(shè)過P點(diǎn)且與BA平行的直線交BC于M，交AO于N．
易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，
∴S_梯形ABCO=（BC+OA）•CD=28．
∴S_?ANMB=S_梯形ABCO=14
∴BM=AN=
∴M（，4），N（，0）
∴直線MN的解析式為：y=-x+，聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得（不合題意舍去），．
∴P（，）．
根據(jù)拋物線和等腰梯形的對(duì)稱性可知P點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)也應(yīng)該符合題意，
因此符合條件的P點(diǎn)有兩個(gè)：P（，），（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、以及圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．