Question

如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點，CE⊥BD于E．
（1）若BD平分∠ABC，求證CE=

1

2

BD；
（2）若D為AC上一動點，∠AED如何變化？若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DB是∠CBA的平分線，且BE⊥CE，可根據(jù)等腰三角形三線合一的特點來作輔助線；延長CE交BA的延長線于F，可先證△BEC≌△BEF，得出CE=EF=

1

2

CF；然后證△BDA≌△CFA，得出BD=CF；由此可得證．
（2）∠AED的度數(shù)應(yīng)該不變；如果過A分別作BD、CF的垂線，設(shè)垂足為H、G，則四邊形AHEG是矩形；由（1）的全等三角形知：AH=AG（全等三角形對應(yīng)的高線相等），故四邊形AHEG是正方形，而AE正好是正方形的對角線，故∠AED=45°．

解答：解：（1）延長BA、CE相交于點F，先證△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE=FE，
∴CE=

1

2

CF，
∵∠BAC是直角，
∴∠BAD=∠CAF=90°，
而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，
∴∠ACF=∠FBE，
又∵AC=AB，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF，即CE=

1

2

BD．

（2）∠AEB不變?yōu)?5°．
理由如下：
法一：過點A作AH⊥BE垂足為H，作AG⊥CE交CE延長線于G，
先證∠ACF=∠ABD，
得△BAH≌△CAG（AAS）
∴AH=AG，
而AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA=

1

2

∠BEG=45°．
法二：由（1）證得△BAD≌△CAF（ASA），△BAD的面積=△CAF的面積，
∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
而AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA=

1

2

∠BEG=45°．

點評：本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的構(gòu)建出與所求和已知相關(guān)的全等三角形，是解答本題的關(guān)鍵．