【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),CE⊥AB于E,設(shè)∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)當(dāng)α=60°時(shí),求CE的長;
(2)當(dāng)60°<α<90°時(shí),
①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②連接CF,當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時(shí),求tan∠DCF的值.
【答案】解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα=,即sin60°=,解得CE=。
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下:
連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,
∵F為AD的中點(diǎn),∴AF=FD。
在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中,
∵∠G=∠DCF, ∠G=∠DCF,AF=FD,
∴△AFG≌△CFD(AAS)。∴CF=GF,AG=CD。
∵CE⊥AB,∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5,BC=10,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),∴AG=5,AF=AD=BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整數(shù)k=3,使得∠EFD=3∠AEF。
②設(shè)BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF(①中已證),∴CF2=(CG)2=CG2=(200﹣20x)=50﹣5x。
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣)2+50+。
∴當(dāng)x=,即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí),CE2﹣CF2取最大值。
此時(shí),EG=10﹣x=10﹣,CE=,
∴。
【解析】銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值,平行四邊形的性質(zhì),對(duì)頂角的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值,勾股定理。
(1)利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解。
(2)①連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF,再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF,然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,從而得解。
②設(shè)BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的長度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,從而得到CF2,然后相減并整理,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把矩形ABCD沿AC折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合,AE交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG∥CD交AC于點(diǎn)G,交CF于點(diǎn)H,連接DG.
(1)求證:四邊形ECDG是菱形;
(2)若DG=6,AG=,求EH的值.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m﹣3=0總有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)m在取值范圍內(nèi)取最小整數(shù)時(shí),求原方程的解.
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【題目】如圖,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A看一棟大樓頂部B的俯角為,看這棟大樓底部C的俯角為,熱氣球A的高度為270米,則這棟大樓的高度為______米
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【題目】某商場為方便顧客使用購物車,準(zhǔn)備將滾動(dòng)電梯的坡面坡度由1:1.8改為1:2.4(如圖).如果改動(dòng)后電梯的坡面長為13米,求改動(dòng)后電梯水平寬度增加部分BC的長.
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【題目】某測量隊(duì)在山腳A處測得山上樹頂仰角為45°(如圖),測量隊(duì)在山坡上前進(jìn)600米到D處,再測得樹頂?shù)难鼋菫?/span>60°,已知這段山坡的坡角為30°,如果樹高為15米,則山高為( 。ň_到1米, =1.732).
A. 585米 B. 1014米 C. 805米 D. 820米
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【題目】(本題9分)據(jù)報(bào)道,“國際剪刀石頭布協(xié)會(huì)”提議將“剪刀石頭布”作為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目.某校學(xué)生會(huì)想知道學(xué)生對(duì)這個(gè)提議的了解程度,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次問卷調(diào)查,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有___名,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為___;請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該校共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生中對(duì)將“剪刀石頭布”作為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目的提議達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(3)“剪刀石頭布”比賽時(shí)雙方每次任意出“剪刀”、“石頭”、“布”這三種手勢中的一種,規(guī)則為:剪刀勝布,布勝石頭,石頭勝剪刀,若雙方出現(xiàn)相同手勢,則算打平.若小剛和小明兩人只比賽一局,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求兩人打平的概率.
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【題目】如圖,⊙O與∠α的兩邊相切,若∠α=60°,則圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r的函數(shù)圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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【題目】某學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)對(duì)該市城區(qū)的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查,從全年365天中隨機(jī)抽取了80天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)數(shù)據(jù),繪制出三幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:
AQI指數(shù) | 質(zhì)量等級(jí) | 天數(shù)(天) |
0-50 | 優(yōu) | m |
51-100 | 良 | 44 |
101-150 | 輕度污染 | n |
151-200 | 中度污染 | 4 |
201-300 | 重度污染 | 2 |
300以上 | 嚴(yán)重污染 | 2 |
(1)統(tǒng)計(jì)表中m= ,n= ,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,空氣質(zhì)量等級(jí)為“良”的天數(shù)占 %;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并通過計(jì)算估計(jì)該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級(jí)為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共多少?
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