Question

如圖，⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，2）和點(diǎn)B，D為⊙C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且∠ODB=60°，求⊙C的半徑、線段AB的長(zhǎng)、B點(diǎn)坐標(biāo)及圓心C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：連接AB；由圓周角定理可知，AB必為⊙C的直徑；Rt△ABO中，易知OA的長(zhǎng)，而∠OAB=∠ODB=60°，通過(guò)解直角三角形，即可求得斜邊AB的長(zhǎng)，也就求得了⊙C的半徑；在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；過(guò)C分別作弦OA、OB的垂線，設(shè)垂足為E、F；根據(jù)垂徑定理即可求出OE、OF的長(zhǎng)，也就得到了圓心C的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，連接AB．
∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°，
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直徑，∠OBA=30°；
∴AB=2OA=4；
∴⊙C的半徑為2；
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，
∴OB=2

3

，
∴B的坐標(biāo)為：（2

3

，0）；
過(guò)C點(diǎn)作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF=

3

，
∴CE=

3

，CF=1，
∴C的坐標(biāo)為（

3

，1）．
故⊙C的半徑為2，線段AB的長(zhǎng)，為4，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），圓心C的坐標(biāo)為（

3

，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、點(diǎn)的坐標(biāo)意義、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中．