Question

如圖，梯形ABCD，AB∥CD，AB=2cm，梯形ABCD內(nèi)部的⊙O分別切四邊于E，F(xiàn)，M，N，且∠OAB=30°，∠OBA=45°．
（1）求出⊙O的半徑OM的長度；
（2）求出梯形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由⊙O切AB于M，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OM⊥AB，又由∠OAB=30°，∠OBA=45°，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得AM=OM，BM=OM，繼而可得OM+OM=2，則可求得⊙O的半徑OM的長度；
（2）首先過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，由⊙O分別切AB，AD于F，M，且∠OAB=30°，根據(jù)切線長定理，即可求得∠BAD的度數(shù)，求得DG與BC的長，繼而求得AD與AG的長，則可求得答案．
解答：解：（1）∵⊙O切AB于M，
∴OM⊥AB，
又∵∠OAB=30°，∠OBA=45°，
∴AM==OM，BM==OM，
∵AM+BM=AB，
∴OM+OM=2，
解得：OM==-1；

（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，
∵⊙O分別切AB，AD于F，M，且∠OAB=30°，
∴∠DAB=60°，
又∵OM=-1，
∴DG=BC=2（），
∴AD==2（）•=，
∴AG=AD=，
∴梯形ABCD的周長為：C_梯形ABCD=2AB-AG+AD+BC=．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．