Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，以O(shè)A為邊作等邊三角形OAB，點(diǎn)B在第一象限，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為1個(gè)單位／秒。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求線段BC的長(zhǎng)；

（2）連接PQ交線段OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)F。設(shè)線段EF的長(zhǎng)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍：

（3）在（2）的條件下，將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BE′F′，使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′落在線段AB上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F′，E′F′交x軸于點(diǎn)G，連接PF、QG，當(dāng)t為何值時(shí)，?

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2） (0<t<3)

（3）當(dāng)t="1" 時(shí)，

【解析】解：（1）∵△AOB為等邊三角形，∴∠BAC=∠AOB=60⁰。

∵BC⊥AB ，∴∠ABC=90⁰�！唷螦CB=30⁰，∠OBC=30⁰。∴∠ACB=∠OBC。

∴CO=OB=AB=OA=3�！郃C=6。

∴BC=AC=。

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥OB交x軸于點(diǎn)N，

∴∠QNA=∠BOA=60⁰=∠QAN。

∴△AQN為等邊三角形。

∵BQ=t，∴NQ=NA=AQ=3－t。

∴�！�。

∵OE∥QN，∴△POE∽△PNQ。

∴，即。∴。

∵EF∥x軸，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30⁰�！郋F=BE。

∴ (0<t<3)。

（3）如圖，

∵，

∴∠AEG=60⁰=∠EAG。

∴GE′=GA ∴△AE′G為等邊三角形。

∵。

∴。

∴∠l=∠2 ，∠3=∠4。

∵∠l+∠2+∠3+∠4=180⁰，∴∠2+∠3=90⁰，即∠QGA=90⁰�！�。

∵EF∥OC，∴，即�！�。

∵，∴。

又∵∠FCP=∠BCA，∴△FCP∽△BCA。

∴。解得。

∵，∴，解得t=1。

∴當(dāng)t="1" 時(shí)，。

（1）由△AOB為等邊三角形得∠ACB=∠OBC=30⁰，由此CO=OB=AB=OA=3，在Rt△ABC中，AC為6 ，從而B(niǎo)C=。

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QN∥OB交x軸于點(diǎn)N，先證△AQN為等邊三角形，從而 ，

，再由△POE∽△PNQ對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算得再由EF=BE易得出m與t之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）先證△AE′G為等邊三角形，再證∠QGA=90⁰，通過(guò)兩邊成比例夾角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通過(guò)解方程求出。