Question

24、如圖，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=5．⊙O內(nèi)切Rt△ABC的三邊AB，BC，CA于D，E，F(xiàn)，半徑r=2．求△ABC的周長．

Answer 1

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)定理可以證明四邊形OECF是正方形，再根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑求得CE的長；進而由BC的長求得BE的長，最后根據(jù)切線長定理和勾股定理求得AD，AF的長，再進一步計算其周長．

解答：解：根據(jù)切線長定理，得BD=BE，CE=CF，AD=AF．
連接OE，OF，則OE⊥BC，OF⊥AC；
∴四邊形OECF是矩形，
又∵OE=OF，
∴矩形OECF是正方形，
∴CE=CF=r=2．
又∵BC=5，
∴BE=BD=3．
設(shè)AF=AD=x，根據(jù)勾股定理，得
（x+2）²+25=（x+3）²，
解得x=10．
則AC=12，AB=13．
即△ABC的周長是5+12+13=30．

點評：此題綜合運用了切線長定理、勾股定理以及正方形的判定和性質(zhì)．