Question

【題目】如圖1，矩形鐵片ABCD的長(zhǎng)為2a，寬為a； 為了要讓鐵片能穿過(guò)直徑為 的圓孔，需對(duì)鐵片進(jìn)行處理（規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時(shí)鐵片不能穿過(guò)圓孔）；
（1）如圖2，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，若將矩形鐵片的四個(gè)角去掉，只余下四邊形MNPQ， ①則此時(shí)鐵片是什么形狀；
②給出證明，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)鐵片都能穿過(guò)圓孔；

（2）如圖3，過(guò)矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點(diǎn)E、F（不與端點(diǎn)重合），沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個(gè)全等的直角梯形鐵片；
①當(dāng)BE=DF= 時(shí)，判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過(guò)圓孔，并說(shuō)明理由；
②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過(guò)圓孔，請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）①菱形，

②如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥NP于點(diǎn)G，

∵M(jìn)、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，

∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四邊形MNPQ是菱形，

∵ ，

MN= ，

∴MG= ，

∴此時(shí)鐵片能穿過(guò)圓孔；

（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥AD于點(diǎn)K，

顯然AB= ，

故沿著與AB垂直的方向無(wú)法穿過(guò)圓孔，

過(guò)點(diǎn)A作EF的平行線RS，故只需計(jì)算直線RS與EF之間的距離即可，

∵BE=AK= ，EK=AB=a，AF= ，

∴KF= ，EF= ，

∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，

∴△AHF∽△EKF，

∴ ，可得AH= ，

∴該直角梯形鐵片不能穿過(guò)圓孔；

② 或 ．

【解析】（1）利用四條邊相等的四邊形為矩形來(lái)判定四邊形為菱形，然后利用面積相等來(lái)求得菱形一邊的高，與已知數(shù)據(jù)比較后判斷是否能通過(guò)．（2）利用兩三角形相似得到比例線段，進(jìn)而求出點(diǎn)A到EF的距離，然后與已知線段比較，從而判定能否通過(guò)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．