Question

定義：和三角形一邊和另兩邊的延長(zhǎng)線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓．
如圖所示，已知：⊙I是△ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點(diǎn)，AD⊥IC于點(diǎn)D．
（1）試探究：D、E、F三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論．
（2）設(shè)AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面積之比等于m，，試作出分別以為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程．

Answer 1

解：（1）結(jié)論：D、E、F三點(diǎn)是同在一條直線上．
證明：分別延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)K，
由旁切圓的定義及題中已知條件得：AD=DK，AC=CK，
再由切線長(zhǎng)定理得：AC+CE=AF，BE=BF，
∴KE=AF．∴，
由梅涅勞斯定理的逆定理可證，D、E、F三點(diǎn)共線，
即D、E、F三點(diǎn)共線．

（2）∵AB=AC=5，BC=6，
∴A、E、I三點(diǎn)共線，CE=BE=3，AE=4，
連接IF，則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四點(diǎn)共圓．
設(shè)⊙I的半徑為r，則：，
∴，即，，
∴由△AEF∽△DEI得：，，∴．
∴，
因此，由韋達(dá)定理可知：分別以為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程是6x²-13x+6=0．
分析：（1）若設(shè)AC與⊙I的切點(diǎn)為M，那么又切線長(zhǎng)定理知：∠MCI=∠ECI，即∠ACD=∠KCD，而CD⊥AK，可得兩個(gè)條件：AC=CK，AD=DK；同樣由切線長(zhǎng)定理知：BE=BF，AF=AM=AC+CE，因此可得，即可證得D、E、F三點(diǎn)共線．
（2）由于AB=AC，即△ABC是等腰三角形，而BC是⊙I的切線，即IE⊥BC，由切線長(zhǎng)定理知AI平分∠CAB，即AI⊥BC，因此A、E、I三點(diǎn)共線，由此可得兩組相似三角形：則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，根據(jù)第二組相似三角形得到的比例線段可求得⊙I的半徑，根據(jù)第一組相似三角形可得AD、ID的比例關(guān)系，聯(lián)立AI的長(zhǎng)以及勾股定理可確定AD、DI的長(zhǎng)；易知∠ADI、∠AFI都是直角，因此A、F、I、D四點(diǎn)共圓（以AI為直徑），即可證得△DEI∽△AEF，根據(jù)DI、AF的長(zhǎng)可得m、n的值，進(jìn)而可根據(jù)韋達(dá)定理得出所求的一元二次方程．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、三點(diǎn)共線的判定方法、相似三角形的判定和性質(zhì)、梅氏定理、勾股定理以及韋達(dá)定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度較大．