Question

（1）如圖1，點P為矩形ABCD對角線的交點．請你完成以下作圖：過點B作PA的平行線BPˊ，過點C作PD的平行線交BPˊ于點Pˊ，連接PPˊ；
（2）在（1）的條件下，判斷PPˊ與BC的位置關系，并證明你的結論；
（3）如圖2，若點P為矩形ABCD內任意一點．求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構成一個四邊形，該四邊形的兩條對角線分別等于線段AB和BC，且互相垂直．

Answer 1

（1）解：如圖所示：
．

（2）PP'與BC的位置關系為：垂直．
證明：∵BP'∥PA，CP'∥PD，
∴四邊形PBP'C是平行四邊形，
∵點P是矩形ABCD對角線的交點，
∴BP=BD，CP=AC，AC=BD，AC∥BD，
∴BP=CP，
∴四邊形PBP'C是菱形，
∴PP'⊥BC．

（3）證明：過點B作AP的平行線BP，過點C作PD的平行線交BP'于點P'，連接PP'，交BC于點M．

∴∠PAB+∠ABP'=180°，∠PDC+∠DCP'=180°，
以PB、BP'、P'C、CP為邊構成四邊形，且以BC、PP'為對角線，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB+ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△APD≌△BP'C（ASA），
∴AP=BP'
∴四邊形ABP'P是平行四邊形．
∴AB∥PP'，AB=PP'AP=BP'，
同理可證：PD=CP'，
∴∠PMC=∠ABC=90°，
∴PP'⊥BC于M，
∴以AP、BP、CP、DP為邊能構成四邊形，該四邊形的兩條對角線分別等于線段AB和BC，且互相垂直．
分析：（1）根據題意畫出即可；
（2）證四邊形PBP'C是平行四邊形，根據矩形的性質求出BP=CP，推出四邊形是菱形即可；
（3）過點B作AP的平行線BP，過點C作PD的平行線交BP'于點P'，連接PP'，交BC于點M，以PB、BP'、P'C、CP為邊構成四邊形，且以BC、PP'為對角線，證△APD≌△BP'C（ASA），推出平行四邊形ABP'P，得到AB∥PP'，AB=PP'AP=BP'，推出PD=CP'，根據等腰三角形的性質推出∠PMC=∠ABC=90°即可．
點評：本題主要考查對矩形的性質，菱形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，垂線等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．