Question

如圖，⊙N的圓心N在以AF為直徑的⊙M上，⊙M的弦AE所在的直線與⊙N相切于D點，⊙M與⊙N其中的一個交點為C，AC交⊙N于B點，連結(jié)NE、AN，設(shè)⊙N、⊙M的半徑分別為2和3．
（1）求證：AN•NE=12；
（2）若AD=

21

，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）首先得出A、F、N、E四點在⊙M上，進而得出△DEN∽△NFA，進而得出答案；
（2）利用勾股定理得出AN，F(xiàn)N的長，進而得出cosC=cosF=

11

6

，CG=NC•cosC進而得出BC的長．

解答：（1）證明：連結(jié)FN、ND，
∵AF為⊙M的直徑．AD切⊙N于D點，
∴∠NDE=∠ANF=90°    
∵A、F、N、E四點在⊙M上，
∴∠DEN=∠NFA．
∴△DEN∽△NFA，
∴

ND

NE

=

AN

AF

，
∴AN•NE=ND•AF=2×2×3=12；

（2）解：連結(jié)NB、NC，過點N作NG⊥BC，垂足為G，
在Rt△AND中，AD=

21

，DN=2，則AN=5，
在Rt△AFN中，AF=2×3=6，AN=5，則FN=

11

∴cosC=cosF=

11

6

，
在Rt△NGC中，NC=2，
∴CG=NC•cosC=

11

6

×2=

11

3

∵NB=NC，
∴BC=2CG=2×

11

3

=

2 11

3

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用已知得出CG的長是解題關(guān)鍵．