Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠CAD=∠B．
（1）利用尺規(guī)作圖，作△ADB的外接圓⊙O；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）判斷AC與⊙O的位置關(guān)系并證明；
（3）若AC=10，AD=8，求⊙O的直徑．

Answer 1

解：（1）如右圖所示，

（2）AC是⊙O的切線，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
又∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（3）∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA=90°，
∴△ACD∽△BAD，
在Rt△ACD中，CD=6，
∴AD：AB=CD：AC，
∴AB=．
分析：（1）先根據(jù)基本作圖，作出線段AB的垂直平分線，交點(diǎn)就是圓心，再以AB的一半為半徑畫(huà)圓即可；
（2）AC是⊙O的切線，由于AD⊥BC，那么∠ADB=90°，即∠B+∠BAD=90°，而∠CAD=∠B，等量代換即可得∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，從而可證AC是⊙O的切線；
（3）由于∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA=90°，易證△ACD∽△BAD，在Rt△ACD中利用勾股定理可求CD，再利用比例線段可求AB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、勾股定理、基本作圖．解題的關(guān)鍵是找出AB的中點(diǎn)，以及證明∠BAC=90°、△ACD∽△BAD．