如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),以B,C,D,M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a≠0),
根據(jù)題意,得,解得。
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3。
(2)存在。
由y=﹣x2+2x+3得,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),對稱軸為x=1。
①若以CD為底邊,則PD=PC,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)勾股定理,得,即y=4﹣x。
又P點(diǎn)(x,y)在拋物線上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0。
解得<1,舍去。
∴,∴。
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為。
②若以CD為一腰,
∵點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對稱性知,點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3)。
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或(2,3)。
(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根據(jù)勾股定理,得CB=,CD=,BD=,
∴CB2+CD2=BD2=20。∴∠BCD=90°。
設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點(diǎn)M,垂足為F,
在Rt△DCF中,∵CF=DF=1,∴∠CDF=45°。,
由拋物線對稱性可知,∠CDM=2×45°=90°,點(diǎn)坐標(biāo)M為(2,3)。
∴DM∥BC!嗨倪呅蜝CDM為直角梯形。
由∠BCD=90°及題意可知,
以BC為一底時,頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;
以CD為一底或以BD為一底,且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在。
綜上所述,符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)。
解析試題分析:(1)由于A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上,故用待定系數(shù)法求解即可。
(2)分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論.運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,再結(jié)合拋物線解析式即可求解。
(3)根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),利用勾股定理求出相關(guān)邊長,再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B為x軸上兩點(diǎn),C、D為y軸上的兩點(diǎn),經(jīng)
過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封
閉曲線稱為“蛋線”.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)M是拋物線C2:(<0)的頂點(diǎn).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知△OAB的頂點(diǎn)A(﹣6,0),B(0,2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),將△OAB繞點(diǎn)O按順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ODC.
(1)寫出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過A,D,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并求此拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)證明AB⊥BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某商場經(jīng)營某種品牌的玩具,購進(jìn)時的單價是30元,根據(jù)市場調(diào)查:在一段時間內(nèi),銷售單價是40元時,銷售量是600件,而銷售單價每漲1元,就會少售出10件玩具.
(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元(x>40),請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元,并把結(jié)果填寫在表格中:
銷售單價(元) | x |
銷售量y(件) | |
銷售玩具獲得利潤w(元) | |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013年四川攀枝花12分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)△PAC的面積為S,求S的最大值并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,DE⊥x軸于點(diǎn)E,在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ADM是直角三角形?若存在,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點(diǎn)O,且AC=80,BD=60.動點(diǎn)M、N分別以每秒1個單位的速度從點(diǎn)A、D同時出發(fā),分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時,M、N同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)求菱形ABCD的周長;
(2)記△DMN的面積為S,求S關(guān)于t的解析式,并求S的最大值;
(3)當(dāng)t=30秒時,在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得∠DPO=∠DON?若存在,這樣的點(diǎn)P有幾個?并求出點(diǎn)P到線段OD的距離;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與x軸相交于O、B,頂點(diǎn)為A,連接OA.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù);
(2)若將拋物線向右平移4個單位,再向下平移2個單位,得到拋物線m,其頂點(diǎn)為點(diǎn)C.連接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′.試判斷其形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,判斷點(diǎn)C′是否在拋物線上,請說明理由;
(4)若點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn),試探究在拋物線m上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且OC為該四邊形的一條邊?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)C(2,)為圓心,以2為半徑的圓與x軸交于A,B兩點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,B,試確定此二次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與 軸交于A(,0),B(2,0),且與軸交于點(diǎn)C.
(1)求該拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;
(2)點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動點(diǎn), 連接PO,PC,
并把△POC沿CO翻折,得到四邊形,求出使四邊形為菱形的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以A,C,B,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形?若存在, 求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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