Question

如圖，過(guò)圓心O的割線(xiàn)PAB交⊙O于A、B，PC切⊙O于C，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H分AB所成的兩條線(xiàn)段AH、HB的長(zhǎng)分別為2和8．求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：連接OC，由CD⊥AB于點(diǎn)H知道HC²=AH•HB，這樣可以求出CH的長(zhǎng)，又PC是切線(xiàn)可以得到∠PCO=90°；而∠CHO=∠CHP=90°，由此可以證明△CHO∽△PHC，則有CH²=PH•OH，利用它可以求出PA的長(zhǎng)了．

解答：解：如圖，連接OC；
∵AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)H，而AH=2，HB=8，
∴AB=10，OH=3，
∴HC²=AH•HB=2×8=16；
又∵PC是切線(xiàn)，
∴∠PCO=90°，而∠CHO=∠CHP=90°，
∴△CHO∽△PHC，
∴HC²=PH•OH=（PA+AH）OH=（AP+2）×3；
即16=（PA+2）×3’；
∴AP=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題首先利用相交弦定理求出CH，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出PA．