Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD上一點（不與C、D重合），連接AE，過點B作BF⊥AE，垂足為F．
（1）若DE=2，求cos∠ABF的值；
（2）設(shè)AE=x，BF=y，①求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；②問當點E從D運動到C，BF的值在增大還是減小？并說明理由．
（3）當△AEB為等腰三角形時，求BF的長．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)相似三角形的判定得出△ABF∽△EDA，再利用成比例線段可知

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

，即可得出答案；
（2）①直接利用（1）中結(jié)果表示為：y=

15

x

；②其利用其單調(diào)性可知：y隨x的增大而減小．
（3）當△AEB為等腰三角形時，有3種情況：a、當AB=BE時，BF=

3 10

2

b、當AE=BE時，BF=

30 61

61

c、當AB=AE=5時，BF=AD=3．

解答：解：（1）∵BF⊥AE，
∴∠FBA+∠FAB=90°，∠AFB=90°，
∵∠D=∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
∴△ABF∽△EDA
∵DE=2，AD=3，
∴AE=

13

，
∴cos∠ABF=

BF

AB

=

AD

AE

=

3 13

13

；

（2）根據(jù)（1）可知：
①

5

x

=

y

3

即y=

15

x

，3＜x＜

34

；
②減小，因為y=

15

x

中，每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

（3）當△AEB為等腰三角形時，有3種情況：
a、當AB=BE時，則BE=5，則CE=

BE2-BC2

=4，∴DE═5-4=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

10

，
∴AF=

10

2

，
∴BF=

3 10

2

；
b、當AE=BE時，E為CD中點，則DE=2.5，AE=

61

2

，
∵AD•AB=BF•AE，
∴3×5=BF×

61

2

，
∴BF=

30 61

61

；
c、當AB=AE=5時，△ABF≌△AED，則BF=AD=3．
所以BF的值為：

3 10

2

或

30 61

61

或3．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)和矩形的綜合題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的關(guān)系式的幾何意義．在解決第三問時要把三種情況都考慮進去，不要漏掉一種情況，靈活運用三角形相似或勾股定理解題．