閱讀材料:如圖①,在平面上,給定了半徑為r的⊙O,對(duì)于任意一點(diǎn)P,在射線OP上取一點(diǎn)Q,使得OP•OQ=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)Q的變換叫做反演變換,點(diǎn)P與點(diǎn)Q叫做互為反演點(diǎn).
解答問題:如圖②,⊙O內(nèi)、外各有一點(diǎn)A和B,它們的反演點(diǎn)分別為C和D,連接AB、CD,試判斷∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由.
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分析:由于A、B的反演點(diǎn)分別為C、D,所以O(shè)D•OB=OA•OC=r2,將所得乘積式化為比例式,再加上公共角∠O,即可證得△OAB∽△ODC,由此可得∠B、∠C應(yīng)該相等.
解答:解:∠B=∠C.(1分)(若不寫此結(jié)論,后面證得結(jié)果,不扣分)
理由如下:
∵點(diǎn)A、點(diǎn)C互為反演點(diǎn),∴OA•OC=r2,(3分)
同理得OB•OD=r2;(4分)
∴OA•OC=OB•OD,(5分)
OA
OD
=
OB
OC
,(6分)
又∵∠O=∠O,
∴△OAB∽△ODC,(7分)
∴∠B=∠C.(7分)
點(diǎn)評(píng):此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì),讀懂材料的含義是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2013•益陽)閱讀材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp-x1=x2-xp,得xp=
x1+x2
2
,同理yp=
y1+y2
2
,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
)
.由勾股定理得AB2=
.
x2-x1
  
.
2
+
.
y2-y1
  
.
2
,所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

注:上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.
解答下列問題:
如圖2,直線l:y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AB、AC,求證△ABC為直角三角形;
(3)將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l′,求兩直線l與l′的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(湖南益陽卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

閱讀材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,同理,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由勾股定理得,所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為

注:上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.

解答下列問題:

如圖2,直線l:y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C.

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)連結(jié)AB、AC,求證△ABC為直角三角形;

(3)將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l′,求兩直線l與l′的距離.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

.閱讀材料:如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

 ,中點(diǎn)的坐標(biāo)為.由,得

同理,所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為

由勾股定理得,所以、兩點(diǎn)

間的距離公式為

注:上述公式對(duì)、在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.

   

解答下列問題:

如圖10,直線與拋物線交于兩點(diǎn),的中點(diǎn),

軸的垂線交拋物線于點(diǎn)

(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)連結(jié),求證為直角三角形;

(3)將直線平移到點(diǎn)時(shí)得到直線,求兩

直線的距離.

 


.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp-x1=x2-xp,得xp=,同理,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由勾股定理得AB2=,所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為
注:上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.
解答下列問題:
如圖2,直線l:y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AB、AC,求證△ABC為直角三角形;
(3)將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l′,求兩直線l與l′的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料:

    如圖(1),在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC⊥BD,垂足為P,求證:S四邊形ABCD=AC·BD.

    證明:∵AC⊥BD  

    ∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=AC·PD+AC·PB=AC(PD+PB)=AC ·BD

解答問題:

(1)上述證明得到的性質(zhì)可敘述為:    ▲   

(2)已知:如圖(2),等腰梯形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性質(zhì)求梯形的面積.

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