Question

如圖1，在平面直角坐標系中，A、B分別為x、y軸正半軸上的點，以AB為邊作正方形ABCD，已知OA、OB是方程x²-3x+m=0的兩根，且滿足關系式OB=2OA．
（1）求D點的坐標；
（2）如圖2，以A為圓心AB為半徑作⊙A，DE∥OB交⊙O于E，交x軸于F，連BE，求線段BE的長；
（3）如圖3，將線段AD繞著平面內某一點旋轉180°，得A、D的對應點分別為M、N（A對應M，D對應N），是否存在這樣的點M、N，使點M落在y軸上，而點N落在雙曲線（x＜0）上？若存在，求M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設OA=x₁，OB=x₂
依題意得x₁+x₂=3；x₂=2x₁；
∴x₁=1，x₂=2
∴A（1，0），B（0，2）
過點D作DH⊥x軸于點H，
∵∠BAO+∠DAH=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠OBA=∠DAH，
在△AOB和△DHA中

∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴DH=OA=1，AH=OB=2，
∴D（3，1）；

（2）由（1）中得A（1，0）、B（0，2）、D（3，1），
∵DE∥OB交⊙O于E，交x軸于F，
∴D，E關于x軸對稱，
∴E （3，-1）
根據(jù)勾股定理得：BE==；

（3）如圖3所示：
設線段AD繞P（x，y）旋轉180°，N（a，），
根據(jù)中心對稱的性質，可得P點橫坐標為：，
∴-a+=3-，
解得：a=-2，
∴N點坐標為：（-2，2），
∴P點縱坐標為；2-（3-2）÷2=，
∴M點坐標為：（0，3）．
分析：（1）利用根與系數(shù)的關系得出A，B的值，進而得出△AOB≌△DHA（AAS），即可得出D點坐標；
（2）由（1）中得A（1，0）、B（0，2）、D（3，1），進而得出D，E關于x軸對稱，再由勾股定理求出BE的長；
（3）設線段AD繞P（x，y）旋轉180°，N（a，），根據(jù)中心對稱的性質，可得P點橫坐標為：，進而得出a的值，即可得出P點縱坐標，即可得出M點坐標．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及旋轉的性質和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出旋轉中心的坐標是解題關鍵．