Question

已知：拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．
（1）直接寫出拋物線對(duì)稱軸方程；
（2）若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；
（3）若D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，請(qǐng)寫出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)y=a（x-2）²+b直接得出答案；
（2）根據(jù)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0），以及拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得出B（0，0），C（4，0），進(jìn)而求出AE=BE=EC，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，-2）時(shí)，以及當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A′（2，2）時(shí)求出即可；
（3）根據(jù)B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)，四邊形ABDC是正方形，即可求出．
解答：解：（1）拋物線對(duì)稱軸方程：x=2．（2分）

（2）設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0）．
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴B（0，0），C（4，0）．（3分）
∵△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AB=AC，
∴AE=BE=EC，
∴A（2，-2）或（2，2）．
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，-2）時(shí)，y=a（x-2）²-2，
把（0，0）代入，得：，
此時(shí)，b=-2．（5分）
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A′（2，2）時(shí)，y=a（x-2）²+2，
把（0，0）代入，得：，此
時(shí)，b=2．
∴，b=-2或，b=2．（7分）

（3）依題意，B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)，四邊形ABDC是正方形．
∵A（2，b），
∴AE=|b|，
∴B（2-|b|，0），
把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）²+b，得ab²+b=0，
∵b≠0，
∴ab•b+b=0，
∴ab=-1．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．