Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F．
（1）證明：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長；
（3）在沒有輔助線的前提下，圖中共有

5

對相似三角形．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM∥BD，再判斷出M是AD的中點，從而得證；
（2）判斷出四邊形FDBE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出BE，再求出AB，然后根據(jù)菱形的周長公式進(jìn)行計算即可得解；
（3）根據(jù)兩平行直線所截得到的三角形是相似三角形找出相似三角形即可．

解答：（1）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∵E為AB的中點，
∴M為AD的中點，
∴AM=DM；

（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，
∴四邊形FDBE是平行四邊形，
∴FD=BD，
∵DF=2，
∴BE=2，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴菱形ABCD的周長=4AB=4×4=16；

（3）設(shè)ME與AC的交點為G，相似三角形有：
△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5對．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，主要利用了菱形的對角線互相垂直的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，（3）要注意全等三角形是特殊的相似三角形．