Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線(xiàn)，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)B，M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當(dāng)BC=4，AC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OM，可得∠OMB=∠OBM=∠MBE，根據(jù)∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°即可證明；
（2）由△AOM∽△ABE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．

解答：（1）證明：連接OM，
則∠OMB=∠OBM=∠MBE
又∵AB=AC，AE是角平分線(xiàn)，
∴AE⊥BC，
∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，
∴AE與⊙O相切．

（2）解：由AE與⊙O相切，AE⊥BC
∴OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴

OM

BE

=

AO

AB

∵BC=4
∴BE=2，AB=6，
即

r

2

=

6-r

6

，r=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)進(jìn)行證明．