分析 (1)①由勾股定理求出AC,再證明△APQ∽△ABC,得出對應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)果;
②過點P作PH⊥AB于點H,AP=t,AQ=3-t,證△AHP∽△ABC,求出PH=45t,根據(jù)三角形面積公式求出即可;
(2)①根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求出AP=AQ,得出3-t=t,求出即可,延長QP交AD于點E,過點Q作QO∥AD交AC于點O,證△AQO∽△ABC,求出AO,QO,PO=1,證△APE∽△OPQ求出AE即可;
②(�。┊�(dāng)點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B,求出CP=AP=12AC=2.5,即可求出t;
(ⅱ)當(dāng)點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B,求出BP=BQ=6-t,AP=t,PC=5-t,過點P作PG⊥CB于點G,證△PGC∽△ABC,求出PG=35(5-t),CG=45(5-t),BG=45t,由勾股定理得出方程,求出方程的解即可.
解答 解:(1)①∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴AC=√AB2+BC2=√32+42=5,
∵PQ⊥AC,
∴∠APQ=90°=∠B,
又∵∠PAQ=∠BAC,
∴△APQ∽△ABC,
∴APAB=AQAC,
即t3=3−t5,
解得:t=98,
即t=98時,PQ⊥AC,
故答案為:98;
②如圖1所示,過點P作PH⊥AB于點H,AP=t,AQ=3-t,
則∠AHP=∠ABC=90°,
∵∠PAH=∠CAB,
∴△AHP∽△ABC,
∴APAC=PHBC,
∵AP=t,AC=5,BC=4,
∴PH=45t,
∴S=12•(3-t)•45t,
即S=-25t2+65t,t的取值范圍是:0<t<3.
(2)①如圖2,線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過點A,則AP=AQ,
即3-t=t,
∴t=1.5,
∴AP=AQ=1.5;
延長QP交AD于點E,過點Q作QO∥AD交AC于點O,
則△AQO∽△ABC,
∴AOAC=AQAB=QOBC,
∴AO=AQAB•AC=52,QO=AQAB•BC=2,
∴PO=AO-AP=1.
∵OQ∥BC∥AD,
∴△APE∽△OPQ
∴AEQO=APQP,
∴AE=APQP•QO=3.
②(�。┤鐖D3,當(dāng)點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B,
BQ=CP=AP=t,∠QBP=∠QAP
∵∠QBP+∠PBC=90°,∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB CP=BP=AP=t
∴CP=AP=12AC=12×5=2.5∴t=2.5.
(ⅱ)如圖4,當(dāng)點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B;
BP=BQ=3-(t-3)=6-t,AP=t,PC=5-t,
過點P作PG⊥CB于點G,則PG∥AB,
∴△PGC∽△ABC,
∴PCAC=PGAB=GCBC,
∴PG=PCAC•AB=35(5-t),CG=PCAC•BC=45(5-t),
∴BG=4-45(5-t)=45t,
由勾股定理得:BP2=BG2+PG2,
即(6-t)2=(45t)2+[35(5-t)]2,
解得:t=4514;
綜上所述:存在t的值,使得直線l經(jīng)過點B,t的值是2.5或4514.
點評 本題是四邊形綜合題目,考查了矩形性質(zhì),等腰三角形性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),勾股定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,題目比較典型,但是有一定的難度.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x(26-2x)=80 | B. | x(24-2x)=80 | C. | (x-1)(26-2x)=80 | D. | x(25-2x)=80 |
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