Question

設(shè)完全平方數(shù)A是11個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和，則A的最小值是

121

．

Answer 1

分析：設(shè)11個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為：x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．根據(jù)題意得A=（x-5）²+（x-4）²+（x-3）²+（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²+（x+2）²+（x+3）²+（x+4）²+（x+5）²=11x²+2×（1+4+9+16+25）=11（x²+10），再根據(jù)A為完全平方數(shù)，則有x²+10=11n，n為完全平方數(shù)，即可得到當(dāng)n=1時(shí)，A的值最�。�

解答：解：設(shè)11個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為：x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．
∴A=（x-5）²+（x-4）²+（x-3）²+（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²+（x+2）²+（x+3）²+（x+4）²+（x+5）²，
=11x²+2×（1+4+9+16+25），
=11x²+110，
=11（x²+10），
∵A為完全平方數(shù)，
∴x²+10=11n，n為完全平方數(shù)，
∴當(dāng)n=1時(shí)，A的值最�。�
此時(shí)A=11×11=121．
故答案為：121．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)的性質(zhì)以及用代數(shù)式表示數(shù)的能力．