Question

已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有四點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A（-4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)．連接PM、PQ并延長分別交x軸于C、D兩點(diǎn)（如圖）．
（1）在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，若點(diǎn)M、C、D、Q能圍成四邊形，則t的取值范圍是

 

，并寫出當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)

 

．
（2）在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，△PMQ可能是軸對(duì)稱圖形嗎？若能，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
（3）在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，求四邊形MCDQ的面積S的范圍．

Answer 1

分析：（1）如果設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為R的話，如果要使M、Q、D、C能構(gòu)成四邊形，那么P點(diǎn)必在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且不在直線QM上．由此可求出t的取值范圍；當(dāng)t=2時(shí)，PR=2，根據(jù)MR：OM=2：1，可得出OC=1．即C（1，0）；
（2）如果△PMQ是軸對(duì)稱圖形，那么△PMQ必為等腰三角形，應(yīng)有兩個(gè)符合條件的P點(diǎn)：
①P在MQ的垂直平分線上，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式表示出PQ，PM，由于此時(shí)PQ=PM，據(jù)此可求出P的坐標(biāo)；
②根據(jù)Q和M的坐標(biāo)可知：如果連接RQ，那么三角形MQR是等腰直角三角形，因此R點(diǎn)即（0，3）也符合條件．（當(dāng)PQ=QM時(shí)，在直線AB上，還有一點(diǎn)，但是那點(diǎn)在直線QM上，因此不合題意舍去）；
（3）本題只需求出S的最大值即可，分三種情況討論：
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，過Q作QM⊥x軸于N，此時(shí)四邊形MCQD的面積可用梯形MQNO的面積+三角形QND的面積-三角形MOC的面積求得．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)4≤t≤5時(shí)，其面積可用梯形MOQN的面積+三角形MCO的面積+三角形QND的面積求得；
③當(dāng)5＜t≤8（t≠6）時(shí)，其面積可用四邊形三角形QNC的面積-梯形MONQ的面積-三角形MOD的面積求得；
根據(jù)上述三種情況得出的函數(shù)關(guān)系式及各自的自變量取值范圍，可求出S的最大值，即可得出S的取值范圍．

解答：解：（1）0≤t≤8，且t≠6；點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）；


（2）若△PMQ可能是軸對(duì)稱圖形，則△PMQ必為等腰三角形．
①當(dāng)PQ=PM時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，3），則有：
PQ=

(a-1)2+(3-2)2

=

a2-2a+2

，
易知MQ=

2

，
∴

a2-2a+2

=

2

，
解得a=2，a=0，
當(dāng)a=2時(shí)，AP=4+2=6，即t=6不合題意，舍去．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
②當(dāng)PM=MQ時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（b，3），則有：
PQ=

b2-2b+2

，PM=

b2+4

，
∴

b2-2b+2

=

b2+4

，
解得b=-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1、3）、（0、3）；

（3）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，S=-

7

4

t+

21

2

，Smax=

21

2

．
當(dāng)4≤t≤5時(shí)，S=-

7

4

t+

21

2

，Smax=

7

2

；
當(dāng)5＜t≤8，S=

7

4

t-

21

2

，Smax=

7

2

；
∴四邊形MCDQ的面積S的范圍是0＜S≤

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性問題，考查了圖形面積的求法、等腰三角形的判定、一次次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度較大．